На время предоставления услуги просят оставить паспорт. Правомерно ли это?

Нет. Использование в качестве залога документа, удостоверяющего личность, законодательством запрещено.

В соответствии с пунктом 40 Правил бытового обслуживания потребителей, утвержденных постановлением Совета Министров Республики Беларусь от 14 декабря 2004 г. № 1590, предметы проката могут выдаваться потребителям под поручительство и (или) залог в установленном исполнителем порядке в соответствии с требованиями законодательства. 

В качестве залога не может быть использован

• документ, удостоверяющий личность потребителя, 
• свидетельство о регистрации ходатайства о предоставлении статуса беженца, дополнительной защиты или убежища в Республике Беларусь,
• свидетельство о предоставлении дополнительной защиты в Республике Беларусь.

Принятие такого документа в залог влечет административную ответственность в виде  штрафа в размере от двух до шести базовых величин (часть 2 статьи 24.34 КоАП).